奇妙的图形密铺

武进区庙桥小学 蔡静红

[教学内容]：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。

[教材简析]：<数学课程标准>中的“实践与综合应用”领域，是新课程的一个特色，也是新数学课程中一个全新的内容。“奇妙的图形密铺”是苏教版义务教育国标教材小学数学五年级下册的内容，是一节实践活动课，属于“实践与综合应用”领域。教材分为三部分：第一部分，通过观察生活中常见的用砖铺成的地面或墙面，初步理解什么是图形的密铺；第二部分，通过动手操作和思考，探索并了解能够进行密铺的平面图形特点，知道有些平面图形可以密铺，有些则不能；有的还可以用两种平面图形进行密铺，从而在活动中进一步体会密铺的含义。更多地了解有关平面图形的特征；第三部分，通过欣赏密铺图案的和设计简单和密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得数学美的体验。

[教学目标]：

1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。

2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。

3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。

[教学重点]：掌握密铺的特点、知道哪些图形可以进行密铺。

[教学难点]：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。

[教学过程]：

一、感受密铺——观察与理解

1.谈话导入：同学们，最近有个朋友邀请我去参观她的新家，她的新家可漂亮了，今天我还带来了一组她新家的设计图片，想和大家一起分享。大家想看看吗？

2.课件出示：浴室瓷砖、地板、壁画、阳台、墙面装饰、天花板……等图案。边欣赏，观察思考：

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(1)这些图片分别是由哪些图形拼成的？

(它们都是由一种或几种平面图形铺成的。如浴室墙面图案是由不同颜色的正方形铺成的) 板书：平面图形

(2)这些平面图形在拼的时候有没有什么共同的地方？（板书：无空隙 不重叠）

(3)小结：象这样把一种或几种平面图形既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法数学上称它为“密铺”。

4.继续出示图片：课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？

（第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三幅图图形之间是重叠的。）

5.联系生活、揭示课题。

师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中肯定还有很多，平时你们在哪里也见过类似的图形？（生1：人行道上的地砖是密铺在一起的。生2：教室的地板是正方形的地砖密铺出来的。生3：蜜蜂巢是由六边形密铺成的……）

观看课件：密铺在生活中的应用。

的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：图形密铺）

【设计说明：从学生日常生活中常见的密铺现象入手，直观形象地引入了密铺的概念；通过观察、辨析和反思等一系列活动，使学生初步认识图形密铺的含义，体会图形密铺的特点和作用。】

二、探究密铺——猜想与验证

(一)一种平面图形的密铺

1.课件出示：

2.学生猜测。

利用交互式动画课件，在学生汇报时把能密铺的图形用鼠标拖入能的方框内，不能密铺的图形拖入不能的方框内。

3.动手操作、实践验证。

(1)师：那么这些猜测都对吗？怎样知道大家的猜测是否正确呢？就让我们一起来动手来操作验证吧。

(2)学生分组操作。

要求：八人一组，每人选择一种图形铺一铺，由小组长带头分工进行，如甲同学拼平行四边形，乙同学就拼梯形……，最后六人一起观察拼出的图案，在小组内互相交流，再汇报。

4.汇报结果、展示交流。

师：哪个小组愿意展示你们验证的结果。展示学生有代表性的平铺作品，并让学生汇报交流。 (圆形和正五边形不能进行密铺)

验证：1、是不是这样呢？我们就来动手铺一铺，验证一下。

2、重点指导梯形：先让学生拿一些梯形铺一铺，学生在电脑上用交互式课件进行操作，师巡视指导，再展示交流。（操作要求：单击鼠标将图形拉到空白处。）

3、另外四种图形,请学生分工合作进行验证.

4、学生汇报、反馈交流。

5、归纳：通过刚才大家操作验证，我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面，其他五种图形都能单独密铺一个平面。

小结：正五边形和圆不能够密铺。

【设计说明：教师提供五种平面图形先让学生观察，并猜一猜哪些图形可以密铺，哪些不能；再让学生动手操作，检验先前的猜想，感受到用同一种图形，有的能密铺，有的却不能密铺，从而进一步体会了密铺的含义。】

(二)两种平面图形的密铺

1、谈话：刚才同学们发现圆不能密铺，但是圆和另一种图形就能密铺了，同学们看密铺的结果。（课件出示）

说明：看来有的时候，用两种图形也能密铺。

2、（课件出示七巧板），提问：

（1）七巧板表面这个图形属于密铺吗？它是由哪几种图形密铺而成的？你能从七巧板中选出两种不同的图形密铺一个平面吗？

（2）观察思考：这里有两幅作品，它们分别用七巧板中哪两种不同的图形进行密铺的？（课件出示）

提问：你能像这样用七巧板中的任意两种图形进行密铺吗？

（3）设疑：你准备选择哪两种图形，小组里先商量一下，商量好之后，可以动手铺一铺，看看你们小组选择的两种图形能不能密铺？
　　（4）学生活动，教师巡视。
　　（5）展示作品，汇报交流.。

（6）通过刚才拼摆，你有什么发现？
　　3、小结：原来，不仅用一种平面图形密铺一个平面，用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。设计师正是将数学与艺术的结合，用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案，下面我们来欣赏一下。

4、课件出示一组密铺图片：

　　

【设计说明：从“圆不能密铺，但和另一种图形就能密铺”的问题，自然地引入了两种图形的密铺；再从七巧板中选用两种不同图形进行密铺的活动，在提升学生对密铺特点感悟的同时，使他们更多地了解了有关平面图形的特征。】

三、创作密铺——设计与赏析

1、教师谈话：同学们能用七巧板中的两种不同的图形进行密铺，真了不起!在生活中，我们经常会看到两种或两种以上的图形进行的密铺。(出示图片，学生欣赏)
　　2、激发需要：看了这么多密铺的图案，给你感受最深的是什么？而这种美来源于密铺的什么特点？是呀，密铺中有规律的无空隙、不重叠的排布，带给我们的是一种视觉上的享受与空间延伸的想象！想不想也来动手创作一幅密铺图案。下面我们是不是来当一回“小小设计师”，设计一幅作品呢？
　 3、设计要求：先确定用什么图形密铺；再把设计的图案画在方格纸上；最后涂上不同的颜色。
　 4、学生创作，教师巡视。
5、展示作品，交流评价。
【设计说明：通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，及时展示和交流设计的作品，使学生进一步感受图形密铺的奇妙，体验成功的乐趣，获得数学美的体验，培养创新意识和审美情趣。】

四、拓展与延伸

（1）介绍密铺的历史背景。
　　（2）欣赏世界著名的视错觉画家埃舍尔的密铺作品（课件出示）

【设计说明：以拓展延伸的形式，向学生介绍了图形密铺的研究历史及欣赏荷兰艺术家埃舍尔的密铺作品，使学生既接受了数学文化的熏陶又进一步感受了图形密铺的奇妙，在不知不觉中渗透了热爱数学、热爱生活的思想，获得了美的体验。】

五、回顾与总结

1、谈话：同学们，今天我们一起研究了图形的密铺，你有什么收获？

2、提问：那你认为密铺图形是怎样的密铺图形？。（课题板书完整：奇妙的图形密铺）

3、总结：是的，密铺就在我们的身边，无时无刻不在装点着我们的生活！希望大家学了今天的知识，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。同时，它还是一门学问，在美丽的密铺后，还有太多的数学奥秘等待我们去探索。　

【设计说明：通过学生对学习过程的回顾反思，有效地梳理了获取知识的方法，感受到了图形密铺的神奇和美妙。】

六、课后作业：研究正五边形为什么不能密铺的原因，撰写一篇数学小文章，相信你们一定能行！

[资料链接] 1、小知识：密铺的历史背景。

1619年——数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面。

1891年——苏联物理学家费德洛夫（E.S.Fedorov）发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。

1924年——数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现这个事实。

2、介绍画家埃舍尔的密铺作品。

密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究。最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher）与密铺。Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉（Alhambra）的建筑物有很深的印象，这是一种十三世纪皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美轮美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案，这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。（出示课件：这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创造的艺术作品，结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人对数学产生另一种看法。）

板书设计：

奇妙的图形密铺

一种

两种 不同的图形 无空隙 不重叠

两种以上